|
|
 |
Условие
Каждый день Фрёкен Бок испекает квадратный торт размером 3×3. Карлсон немедленно вырезает себе из него четыре квадратных куска размером 1×1 со сторонами, параллельными сторонам торта (не обязательно по линиям сетки 3×3). После этого Малыш вырезает себе из оставшейся части торта квадратный кусок со сторонами, также параллельными сторонам торта. На какой наибольший кусок торта может рассчитывать Малыш вне зависимости от действий Карлсона?
Решение
На рис. слева отмечено расположение квадратов Карлсона, при котором Малыш, очевидно, не сможет получить квадрат со стороной более ⅓. Докажем, что квадратик ⅓×⅓ Малыш сможет вырезать всегда.
Первый способ. Разобьём торт на 81 квадратик ⅓×⅓. Каждый из квадратов Карлсона заденет не более 16 из этих квадратиков. Следовательно, хотя бы 81 – 4·16 = 17 квадратиков останутся целыми. Один из них сможет вырезать Малыш.
Второй способ. На рис. справа пять кусочков торта размером ⅓×⅓ расположены так, что каждый из четырёх квадратов Карлсона заденет не более одного из них. Следовательно, Малыш всегда сможет взять один из этих кусочков.
Ответ
⅓×⅓.
