Задача 65195

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Евдокимов М.А.

Точки O и I – центры описанной и вписанной окружностей неравнобедренного треугольника ABC. Две равные окружности касаются сторон AB, BC и AC, BC соответственно; кроме этого, они касаются друг друга в точке K. Оказалось, что K лежит на прямой OI. Найдите ∠BAC.

Решение

  Обозначим центры двух равных окружностей, упомянутых в условии, соответственно I_B и I_C (см. рис.). Заметим, что  I_BI_C || BC,  так как расстояния от точек I_B и I_C до прямой BC равны. Следовательно, треугольники I_BII_C и BIC гомотетичны и их медианы IK и IM лежат на одной прямой. Но согласно условию это все та же прямая OI, то есть M, O, и I лежат на одной прямой. Значит, либо прямая OM – серединный перпендикуляр к стороне BC, либо точки M и O совпадают.

  В первом случае I лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC, откуда следует равенство углов IBC и ICB. Но тогда равны и углы B и C, а равнобедренность треугольника ABC запрещена условием.
  Во втором случае угол A – прямой, так как опирается на диаметр BC описанной окружности треугольника ABC.

Ответ

90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2015
Номер	78
класс
Класс	9
задача
Номер	4