Задача 65197

Темы:    [ Последовательности (прочее) ] [ Тождественные преобразования ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Креков Д.

По целому числу a построим последовательность  a₁ = a,  a₂ = 1 + a₁,  a₃ = 1 + a₁a₂,  a₄ = 1 + a₁a₂a₃,  ... (каждое следующее число на 1 превосходит произведение всех предыдущих). Докажите, что разности ее соседних членов  a_n+1 – a_n  – квадраты целых чисел.

Решение

a_n+1 – a_n = 1 + a₁a₂...a_n–1a_n – a_n = 1 – a_n + (a_n – 1)a_n = (1 – a_n)².

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2015
Номер	78
класс
Класс	10
задача
Номер	1