Условие
Единичный квадрат разрезан на n треугольников. Докажите, что одним из треугольников можно накрыть квадрат со стороной 1/n.
Решение
При n = 2 и n = 3 утверждение задачи проверяется непосредственно (см. рис.).
Пусть
n ≥ 4. Сумма площадей
n треугольников, на которые разрезан единичный квадрат, равна 1, поэтому среди них найдётся треугольник с площадью
S ≥
1/
n. Покажем, что этим треугольником можно накрыть квадрат со стороной
1/
n. Пусть
a – наибольшая сторона выбранного треугольника,
h – высота, опущенная на эту сторону.
Рассмотрим квадрат, одна из сторон которого лежит на стороне
a
треугольника, а еще две вершины находятся на двух других сторонах (см. рис.).
Противоположная сторона этого квадрата отсекает треугольник, подобный исходному
с коэффициентом подобия
h = x/
a = h–x/
h, где
x – сторона квадрата. Из этого равенства находим
x = ah/
a+h.
Если
a + h ≤ 2, то в силу неравенства
S = ah/
2 ≥
1/
n получаем
x ≥
2/
n·
1/
a+h ≥
1/
n.
Если же
a + h > 2, то
, так как
(сторона треугольника не превосходит диагонали исходного квадрата). Кроме того,
a ≥ h. В самом деле, если
b – какая-то другая сторона треугольника, то
a ≥ b ≥ h. Пользуясь этими неравенствами, получаем
Источники и прецеденты использования
|
|
|
олимпиада |
|
Название |
Московская математическая олимпиада |
|
год |
|
Год |
2015 |
|
Номер |
78 |
|
класс |
|
Класс |
11 |
|
задача |
|
Номер |
4 |
