ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65207
Темы:    [ Показательные функции и логарифмы (прочее) ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сумма нескольких не обязательно различных положительных чисел не превосходила 100. Каждое из них заменили на новое следующим образом: сначала прологарифмировали по основанию 10, затем округлили стандартным образом до ближайшего целого числа и, наконец, возвели 10 в найденную целую степень. Могло ли оказаться так, что сумма новых чисел превышает 300?


Решение

  Пусть исходные числа равны 32, 32, 32 и 4. Тогда их сумма равна 100. Поскольку  32² > 10³,  то  lg32 > lg103/2 = 1,5. С другой стороны,
lg32 < lg100 = 2.  Следовательно, результат округления lg32 равен 2, значит, соответствующее новое число есть 10² = 100.
  Поскольку  4² > 10,  то  lg4 > lg101/2 = 0,5,  а так как  lg4 < lg10 = 1,  результат округления lg4 равен 1, значит, соответствующее новое число есть
101 = 10.
  Таким образом, сумма новых чисел равна 310 > 300.


Ответ

Могло.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2015
Номер 78
класс
Класс 11
задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .