ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65208
Темы:    [ Тригонометрические уравнения ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Какое наибольшее количество множителей вида     можно вычеркнуть в левой части уравнения     так, чтобы число его натуральных корней не изменилось?


Решение

  Заметим, что множитель  sin nπ/x  обращается в нуль только при  nπ/x = πk,  то есть  x = n/k,  где   kZ.  Среди этих значений натуральными будут только само число n и все его делители.

  Разобьём множители вида  sin nπ/x  в левой части уравнения на две группы: к первой отнесем множители, соответствующие числам n от 1 до 1007, а ко второй – числам n от 1008 до 2015. При вычеркивании любого множителя  sin nπ/x  из второй группы натуральный корень исходного уравнения, равный n, не обращает в нуль больше никакой другой оставшийся множитель, поэтому такие множители вычеркивать без изменения числа натуральных корней нельзя. При вычеркивании же любого множителя из первой группы количество натуральных корней не изменяется, так как для любого натурального n, не превосходящего 1007, найдется множитель  sin mπ/x  из второй группы, в котором m кратно n, так что он также обращается в нуль при тех натуральных значениях x, для которых  sin nπ/x = 0.  Значит, все такие множители можно вычеркнуть без изменения числа натуральных корней исходного уравнения. Таким образом, искомое число множителей равно 1007.


Ответ

1007.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Год 2015
Номер 78
класс
Класс 11
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .