На сторонах шестиугольника было записано шесть чисел, а в каждой вершине – число, равное сумме двух чисел на смежных с ней сторонах. Затем все числа на сторонах и одно число в вершине стерли. Можно ли восстановить число, стоявшее в вершине?

   Решение

Имеется несколько камней, масса каждого из которых не превосходит 2 кг, а общая масса равна 100 кг. Из них выбирается несколько камней, суммарная масса которых отличается от 10 кг на наименьшее возможное для данного набора число d. Какое максимальное значение может принимать число d для всевозможных наборов камней?

   Решение

Девять чисел таковы, что сумма каждых четырёх из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительны.

   Решение

Темы:    [ Линейные неравенства и системы неравенств ] [ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

Прислать комментарий

Условие

Девять чисел таковы, что сумма каждых четырёх из них меньше суммы пяти остальных. Докажите, что все числа положительны.

Решение

Упорядочим данные числа по возрастанию:  а₁ ≤ а₂ ≤ ... ≤ а₉.  По условию  а₁ + а₂ + а₃ + а₄ + а₅ > а₆ + а₇ + а₈ + а₉ ≥ а₂ + a₃ + а₄ + а₅.  Значит,  а₁ > 0.  Тем более остальные числа положительны.

Источники и прецеденты использования