ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65223
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Признаки делимости на 11 ]
[ Простые числа и их свойства ]
[ Разложение на множители ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Верно ли, что изменив одну цифру в десятичной записи любого натурального числа, можно получить простое число?


Решение

  Приведём три контрпримера.
  1. Рассмотрим число  10! = 3628800.  Оно делится на 10, поэтому если изменить любую цифру, кроме последней, то делимость на 10 сохранится. Если последнюю цифру заменить на любую из цифр от 2 до 9, то полученное число  10! + k.  будет делиться на k. А если последнюю цифру заменить на 1, то получится число 3628801, кратное 11.
  2. Рассмотрим число (10!)3. Изменение любой цифры, кроме последней, а также замена последней цифры на любую цифру от 2 до 9 не дает простого числа по соображениям, изложенным выше. А если последнюю цифру заменить на 1, то получится число
(10!)³ + 1 = (10! + 1)((10!)² – 10! + 1).
  3. Рассмотрим число  19! + 10.  Бесполезность изменения любой его цифры, кроме последней, объяснена выше, а замена последней цифры на 1, 2, ..., 9 приведёт к тому, что полученные числа будут делиться на 11, 12, ..., 19 соответственно.


Ответ

Неверно.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2014/15
класс
Класс 7
задача
Номер 7.4.3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .