ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65231
Темы:    [ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Панов М.Ю.

Прямая l перпендикулярна одной из медиан треугольника. Серединные перпендикуляры к сторонам этого треугольника пересекают прямую l в трёх точках. Докажите, что одна из них является серединой отрезка, образованного двумя оставшимися.


Решение

  Пусть прямая l перпендикулярна медиане BM, а серединные перпендикуляры к сторонам AB, AC, BC пересекают l в точках X, Y и Z (см. рис.). Точки K, M, L – середины этих сторон, O – центр описанной окружности, N – точка пересечения l и BM. Из перпендикулярности прямых следует, что
XOY = ∠BAC,  ∠YOZ = ∠BCA,  ∠OXZ = ∠ABM,  ∠OZX = ∠CBM.  Дальше можно рассуждать по-разному.

  Первый способ. Треугольники YOX и MAB подобны, следовательно,  YX : MB = YO : MA.  Треугольники YOZ и MCB также подобны, следовательно,
YZ : MB = YO : MC.  Поскольку  MA = MC,  то  YX = YZ.

  Второй способ. Продлим медиану BM на ее длину (см. риc.). Тогда треугольники BAD и XOZ подобны. Поскольку AM – медиана треугольника BAD и
BAM = ∠XOY,  то OY – медиана треугольника XOZ, что и требовалось.

Замечания

Утверждение верно для произвольной тройки прямых, перпендикулярных сторонам треугольника и пересекающихся в одной точке.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 13 (2015 год)
Дата 2015-04-13
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .