Задача 65232

Темы:    [ Трапеции (прочее) ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Перегруппировка площадей ]

Сложность: 4- Классы: 10,11

Условие

Автор: Блинков Ю.А.

O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Прямая, проходящая через C и точку, симметричную B относительно O, пересекает основание AD в точке K. Докажите, что  S_AOK = S_AOB + S_DOK.

Решение

  Поскольку  BC || AD,  то  S_ABD = S_ACD,  следовательно,  S_AOB = S_DOC.  Поэтому достаточно доказать, что  S_AOK = ½ S_ACD.  Пусть P и Q – середины оснований BC и AD (см. рис.). Заметим, что прямая PQ проходит через точку O.

  CQ – медиана треугольника ACD, откуда  ½ S_ACD = S_CQD = S_CQK + S_CKD.  Поскольку  CK || OQ,  то  S_CQK = S_COK,  следовательно,
S_CQK + S_CKD = S_COK + S_CKD = S_OCDK,  что и требовалось.

Замечания

Также можно с помощью аффинного преобразования перевести данную трапецию в равнобокую. Отношение площадей при этом сохраняется.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	13 (2015 год)
Дата	2015-04-13
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	3