ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65232
Темы:    [ Трапеции (прочее) ]
[ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ]
[ Перегруппировка площадей ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

O – точка пересечения диагоналей трапеции ABCD. Прямая, проходящая через C и точку, симметричную B относительно O, пересекает основание AD в точке K. Докажите, что  SAOK = SAOB + SDOK.


Решение

  Поскольку  BC || AD,  то  SABD = SACD,  следовательно,  SAOB = SDOC.  Поэтому достаточно доказать, что  SAOK = ½ SACD.  Пусть P и Q – середины оснований BC и AD (см. рис.). Заметим, что прямая PQ проходит через точку O.

  CQ – медиана треугольника ACD, откуда  ½ SACD = SCQD = SCQK + SCKD.  Поскольку  CK || OQ,  то  SCQK = SCOK,  следовательно,
SCQK + SCKD = SCOK + SCKD = SOCDK,  что и требовалось.

Замечания

Также можно с помощью аффинного преобразования перевести данную трапецию в равнобокую. Отношение площадей при этом сохраняется.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 13 (2015 год)
Дата 2015-04-13
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .