ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65233
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Средние пропорциональные в прямоугольном треугольнике ]
[ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC  M – середина стороны BC, P – точка пересечения касательных в точках B и C к описанной окружности, N – середина отрезка MP. Отрезок AN пересекает описанную окружность в точке Q. Докажите, что ∠PMQ = ∠MAQ.


Решение

  Поскольку PB – касательная к окружности, а M – середина стороны BC, то треугольник BOP – прямоугольный с высотой BM, следовательно,
2NM·OM = PM·OM = BM².
  Степень deg N точки N относительно описанной окружности треугольника ABC равна
NO² – OB² = (NM + OM)² – OB² = NM² + 2NM·OM + OM² – OB² = NM² + PM·OM + OM² – OB².  С другой стороны,  deg N = NQ·NA,  то есть
NM² = NQ·NA.
  Таким образом, MN – касательная к описанной окружности треугольника AMQ, откуда и следует равенство указанных углов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 13 (2015 год)
Дата 2015-04-13
класс
Класс 10-11 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .