Задача 65236

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Якубов А.

Параллелограмм ABCD таков, что  ∠B < 90°  и  AB < BC.  Точки E и F выбраны на описанной окружности ω треугольника ABC так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку D. Оказалось, что  ∠EDA = ∠FDC.  Найдите угол ABC.

Решение

  Пусть l – биссектриса угла EDF. Поскольку DE и DF – касательные, прямая l проходит через центр O окружности ω.

  Совершим симметрию относительно l. Так как  ∠EDA = ∠FDC,  луч DC перейдёт в луч DA. Поскольку l проходит через O, окружность ω перейдёт в себя; значит, точка C переходит в точку C', лежащую на DA и на ω. При этом, так как  AD ≠ DC,  точки C' и A различны.
  Из той же симметрии имеем  ∠DCC' = ∠DC'C.  Так как точки A, B, C и C' лежат на ω, то  ∠DC'C = ∠ABC = ∠ADC.  Итак, все три угла треугольника DCC' равны, откуда  ∠ABC = ∠CDC' = 60°.

Ответ

60°

Замечания

Ср. с задачей 65243.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2014/2015
этап
Вариант	5
класс
Класс	9
задача
Номер	9.2
олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2014/2015
этап
Вариант	5
класс
Класс	11
задача
Номер	11.1