Задача 65243

Темы:    [ Признаки и свойства параллелограмма ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вписанный угол равен половине центрального ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Берлов С.Л., Якубов А.

Дан параллелограмм ABCD, в котором  AB < AC < BC.  Точки E и F выбраны на описанной окружности ω треугольника ABC так, что касательные к ω в этих точках проходят через точку D; при этом отрезки AD и CE пересекаются. Оказалось, что  ∠ABF = ∠DCE.  Найдите угол ABC.

Решение

  Так как D лежит вне ω, угол ABC острый. Пусть A' – вторая точка пересечения DC и ω. Поскольку  BC > AC,  имеем
∠DCA = ∠CAB > ∠CBA = ∠DA'A;  значит, A' лежит на продолжении отрезка DC за точку C. Заметим, что
⌣ECA' = 2(180° – ∠ECA') = 2∠ECD = 2∠ABF = ⌣ACF.

  Пусть l – биссектриса угла EDF. Поскольку DE и DF – касательные, прямая l проходит через центр O окружности ω. Совершим симметрию относительно l; при этом ω перейдёт в себя. Так как  ⌣ECA' = ⌣ACF,  точки A и A' при этой симметрии переходят друг в друга. Значит,
∠DAA' = ∠DA'A.  С другой стороны, поскольку точка A' лежит на ω,  ∠AA'C = ∠ABC = ∠ADA'.  Итак, все три угла треугольника DAA' равны, откуда  ∠ABC = ∠ADA' = 60°.

Ответ

60°.

Замечания

Отметим, что эта задача – переформулировка задачи 65236.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант	2014/2015
этап
Вариант	5
класс
Класс	10
задача
Номер	10.2