ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65240
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Остроугольный треугольник ABC  (AB < AC)  вписан в окружность Ω. Пусть M – точка пересечения его медиан, а AH – высота. Луч MH пересекает Ω в точке A'. Докажите, что описанная окружность треугольника A'HB касается прямой AB.


Решение

  Выберем на Ω точку D так, что  AD || BC,  тогда точки A и D симметричны относительно серединного перпендикуляра к BC. Пусть H' – проекция точки D на BC, а K – середина BC. Из симметрии K также является серединой отрезка HH'; кроме того,  HH' = D.
  Пусть X – точка пересечения отрезков AK и DH. Тогда треугольники ADX и KHX подобны, откуда  AX : KX = AD : KH = 2.  Значит, X – точка пересечения медиан треугольника ABC, то есть  X = M.  Итак, точки A', H, M и D лежат на одной прямой.

  Заметим, что  ∠ABH = ∠ABC = ∠BCD = ∠BA'D = ∠BA'H.  Это и означает, что AB – касательная к описанной окружности треугольника BA'H.

Замечания

Тот факт, что точки H, M, D (а значит, и A') лежат на одной прямой, можно доказать и по-другому. Пусть ω – окружность девяти точек треугольника ABC. Как известно, она проходит через середины его сторон и точку H. При гомотетии с центром в точке M и коэффициентом –2 окружность ω переходит в Ω. Значит, точка H при этой гомотетии перейдёт в такую точку D описанной окружности, что  AD || BC.  Поэтому точки H, M и D лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Вариант 2014/2015
этап
Вариант 5
класс
Класс 9
задача
Номер 9.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .