|
|
 |
Условие
На доске написаны N ≥ 9 различных неотрицательных чисел, меньших единицы. Оказалось, что для любых восьми различных чисел с доски на ней найдётся такое девятое, отличное от них, что сумма этих девяти чисел целая. При каких N это возможно?
Решение
Ясно, что при N = 9 требуемое возможно – достаточно написать на доску 9 различных положительных чисел с единичной суммой. Покажем, что при N > 9 требуемое невозможно.
Предположим противное; обозначим через S сумму всех чисел на доске. Выберем на доске произвольные числа α1, α2, ..., α7 с суммой T; пусть A – множество всех остальных чисел на доске. По условию, для любого числа β ∈ A найдётся такое отличное от него число γ ∈ A, что число T + β+ γ целое. Скажем, что число γ соответствует числу β. Заметим, что такое число γ единственно. Действительно, если бы нашлось другое число γ' ∈ A, для которого сумма T + β + γ' целая, то число γ – γ' = (T + β + γ) – (T + β + γ') также было бы целым. Но это невозможно, ибо 0 < |γ – γ'| < 1.
В частности, отсюда следует, что β соответствует числу γ. Значит, все числа в A разбиваются на пары чисел (β1, γ1), ..., (βl,
γl) соответствующих друг другу. При этом l > 1, так как N = 7 + 2l > 9.
Рассмотрим сумму Σ = (T + β1 + γ1) + (T + β2 + γ2) + ... + (T + βl + γl). Σ – целое число. С другой стороны, каждое число из A входит в Σ ровно по разу; значит, Σ = lT + (S – T) = S + (l – 1)T, откуда .
Выбрав теперь на доске числа α2, α3, ..., α8 и обозначая их сумму через T', аналогично получим, что при целом Σ'. Значит,
Так как α1 и α8 могли быть любыми двумя числами на доске, получаем, что разность каждых двух чисел на доске имеет вид при целом k.
Пусть μ – наименьшее число на доске. Тогда на доске могут присутствовать лишь числа (все большие числа будут уже не меньше 1) – всего l чисел. Однако общее количество чисел на доске равно N = 7 + 2l > l; значит, они не могут быть различными.
Противоречие.
Ответ
Только при N = 9.
