Задача 65246
|
|
 |
Условие
Известно, что клетчатый квадрат можно разрезать на n одинаковых фигурок из k клеток.
Докажите, что его можно разрезать и на k одинаковых фигурок из n клеток.
Решение
Пусть сторона квадрата равна m. По условию m² = nk. Пусть d = (m, n); тогда m = m1d, n = n1d, где (m1, n1) = 1; при этом m1m = n1k. Первые множители в обеих частях последнего равенства взаимно просты, следовательно, m делится на n1.
Это значит, что квадрат можно разделить на горизонтальные полосы шириной n1 и на вертикальные полосы шириной d. При этом он разобьётся на равные прямоугольники из n1d = n клеток, что и требовалось.
