Задача 65294

Темы:    [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ] [ Неравенство Коши ] [ Средние величины ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

В окружность вписан неправильный многоугольник. Если вершина A разбивает дугу, заключенную между двумя другими вершинами, на две неравные части, то такая вершина A называется неустойчивой. Каждую секунду какая-нибудь неустойчивая вершина перепрыгивает в середину своей дуги. В результате каждую секунду образуется новый многоугольник. Докажите, что сколько бы секунд ни прошло, многоугольник никогда не будет равным исходному.

Решение

Рассмотрим длины дуг между соседними точками. В силу неравенства  a² + b² > (^a+b/₂)²  (при  a ≠ b)  сумма квадратов этих дуг каждую секунду уменьшается. Следовательно, многоугольник никогда не станет таким же, как был.

Замечания

Дисперсия набора длин дуг также уменьшается.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата	2009
задача
Номер	18