ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65297
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Количество и сумма делителей числа ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На новогоднюю ёлку повесили 100 лампочек в ряд. Затем лампочки стали переключаться по следующему алгоритму: зажглись все, через секунду погасла каждая вторая лампочка, ещё через секунду каждая третья лампочка переключилась: если горела, то погасла и наоборот. Через секунду каждая четвёртая лампочка переключилась, ещё через секунду – каждая пятая и так далее. Через 100 секунд всё закончилось. Найдите вероятность того, что случайно выбранная после этого лампочка горит (лампочки не перегорают и не бьются).


Решение

Очевидно, лампочка с номером n останется гореть, только если её переключили нечётное число раз, то есть если число n имеет нечётное количество натуральных делителей. Ясно, что этому условию удовлетворяют только квадраты:  n = 1, 4, 9, ..., 100  (см. задачу 30365). Таким образом, останется гореть 10 лампочек из 100. Поэтому вероятность случайно выбрать горящую лампочку равна 0,1.


Ответ

0,1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2010
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .