|
|
 |
Условие
На улице n домов. Каждый день почтальон идёт на почту, берёт там письма для жителей одного дома и разносит их. Затем он возвращается на почту, берёт письма для жителей другого дома и снова их разносит. И так он обходит все дома. В каком месте нужно построить почту, чтобы почтальону пришлось проходить наименьшее расстояние? Улицу можно считать отрезком прямой.
а) Решите задачу для n = 5.
б) Решите задачу для n = 6.
в) Решите задачу для произвольного n.
Решение
а) Введём координатную прямую, на которой расположим дома с координатами x1, x2, x3, x4, x5 упорядоченными по возрастанию. Пусть t – координата почтового отделения на числовой прямой.
2S = 2|x1 – t| + 2|x2 – t| + 2|x3 – t| + 2|x4 – t| + 2|x5 – t|. Нужно сделать 2S, а значит и S, как можно меньше. Рассмотрим функцию S(t). Графиком является ломаная, точки излома в каждой из точек x1, x2, x3, x4, x5 (см. рисунок).
Значит, наименьшее значение достигается в точке t = x3. Здание почты нужно строить в этой точке.
б) Рассуждая так же, получим, что здание почты нужно строить в x3 или в x4, или в любом месте между этими точками.
в) Для произвольного n тем же рассуждением найдём, что при нечётных n а при чётных n минимум достигается на всем отрезке
Ответ
а) В среднем доме; б) в любой точке отрезка между двумя средними домами;
в) при нечётном n в среднем доме, при чётном – в любой точке отрезка между двумя средними домами.
