ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65306
Темы:    [ Неравенства с модулями ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На улице n домов. Каждый день почтальон идёт на почту, берёт там письма для жителей одного дома и разносит их. Затем он возвращается на почту, берёт письма для жителей другого дома и снова их разносит. И так он обходит все дома. В каком месте нужно построить почту, чтобы почтальону пришлось проходить наименьшее расстояние? Улицу можно считать отрезком прямой.
  а) Решите задачу для  n = 5.
  б) Решите задачу для  n = 6.
  в) Решите задачу для произвольного n.


Решение

  а) Введём координатную прямую, на которой расположим дома с координатами x1, x2, x3, x4, x5 упорядоченными по возрастанию. Пусть t – координата почтового отделения на числовой прямой.

  Почтальон проходит от почты до каждого дома дважды: туда и обратно, то есть общее расстояние, пройденное почтальоном равно
2S = 2|x1t| + 2|x2t| + 2|x3t| + 2|x4t| + 2|x5t|.   Нужно сделать 2S, а значит и S, как можно меньше. Рассмотрим функцию S(t). Графиком является ломаная, точки излома в каждой из точек x1, x2, x3, x4, x5 (см. рисунок).
  У самого левого звена угловой коэффициент –5, а если двигаться вправо, то при переходе через каждую точку xi угловой коэффициент увеличивается на 2. Таким образом, до точки x3 функция S(t) убывает, а после этой точки возрастает (на рисунке масштаб по оси ординат уменьшен для удобства).
  Значит, наименьшее значение достигается в точке  t = x3.  Здание почты нужно строить в этой точке.

  б) Рассуждая так же, получим, что здание почты нужно строить в x3 или в x4, или в любом месте между этими точками.

  в) Для произвольного n тем же рассуждением найдём, что при нечётных n    а при чётных n минимум достигается на всем отрезке  


Ответ

а) В среднем доме;   б) в любой точке отрезка между двумя средними домами;
в) при нечётном n в среднем доме, при чётном – в любой точке отрезка между двумя средними домами.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2010
задача
Номер 14

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .