Илья Муромец встречает трёхголового Змея Горыныча. И начинается битва. Каждую минуту Илья отрубает Змею одну голову. С вероятностью ¼ на месте срубленной головы вырастает две новых, с вероятностью ⅓ – только одна новая голова и с вероятностью ⁵/₁₂ – ни одной головы. Змей считается побеждённым, если у него не осталось ни одной головы. Найдите вероятность того, что рано или поздно Илья победит Змея.

   Решение

Темы:    [ Дискретное распределение ] [ Условная вероятность ] [ Предел последовательности, сходимость ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Илья Муромец встречает трёхголового Змея Горыныча. И начинается битва. Каждую минуту Илья отрубает Змею одну голову. С вероятностью ¼ на месте срубленной головы вырастает две новых, с вероятностью ⅓ – только одна новая голова и с вероятностью ⁵/₁₂ – ни одной головы. Змей считается побеждённым, если у него не осталось ни одной головы. Найдите вероятность того, что рано или поздно Илья победит Змея.

Решение

  Удары Ильи Муромца, при которых число голов меняется, назовём успешными.
  Найдём вероятность того, что когда-нибудь наступит последний успешный удар. Это значит, что начиная с этого, успешных ударов больше не случится, то есть все удары будут безуспешными. Вероятность этого равна  ⅓·⅓·⅓·... = 0.
  Таким образом, последнего успешного удара не будет, а будет бесконечная подпоследовательность успешных ударов, которую мы и будем рассматривать, игнорируя все остальные удары.
  Вероятность успешного удара равна ⅔. Условная вероятность того, что при успешном ударе число голов увеличилось, равна  ¼ : ⅔ = ³/₈.
  Аналогично, условная вероятность того, что при успешном ударе голов стало меньше, равна  ⁵/₁₂ : ⅔ = ⁵/₈.
  Возникает стандартная задача одномерного случайного блуждания. Предположим, что в результате некоторой серии успешных ударов число голов Змея стало на одну меньше, чем было. Назовём это событие D, а его вероятность обозначим x.
  Есть две возможности.
  1) В результате первого успешного удара голов стало на одну меньше (событие M, вероятность ⁵/₈). В этом случае событие D уже произошло – его условная вероятность равна 1.
  2) В результате первого успешного удара голов становится больше на одну (событие N, вероятность ³/₈). В этом случае событие D наступит, только если число голов уменьшится на 2 – на одну, а потом еще на одну. Поэтому условная вероятность события D в этом случае равна x².
  По формуле полной вероятности  x = P(D) = P(D|M)·P(M) + P(D|N)·P(N) = ⁵/₈ + ³/₈ x².
  Отсюда  x = 1  или  x = ⁵/₃.  Второй корень посторонний. Значит, событие D достоверно.
  Таким образом, рано или поздно число голов обязательно уменьшится с трёх до двух. Затем, по той же причине, число голов уменьшится до одной и, наконец, станет равно нулю. У Змея нет шансов.

Ответ

1.

Источники и прецеденты использования