ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65355
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Средние величины ]
[ Условная вероятность ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вероятность рождения двойняшек в Швамбрании равна p, тройняшки в Швамбрании не рождаются.
  а) Оцените вероятность того, что встреченный на улице швамбранец – один из пары двойняшек?
  б) В некоторой швамбранской семье трое детей. Какова вероятность того, что среди них есть пара двойняшек?
  в) В школах швамбранских двойняшек обязательно зачисляют в один класс. Всего в Швамбрании N первоклассников.
Каково матожидание числа пар двойняшек среди них?


Решение

  а) Пусть по улицам Швамбранских городов и сёл ходят M пар двойняшек и N "одиночек". Тогда  ,  откуда  .  Встретим случайного швамбранца. Он является одним из двойняшек с вероятностью  

  б) Искомая вероятность условная. Нарисуем граф (красные ребра означают рождение двойняшек, синие – одиночек). Граф можно сколь угодно долго продолжать вниз, но нас интересует только тот фрагмент, который учитывает все возможные способы появления на свет трёх детей (см. рис.). Возле каждого ребра подпишем вероятность. Изобразим криволинейной областью событие  A = {Трое детей}.  В это событие попадает три вершины, то есть три элементарных события с суммарной вероятностью  2pq + q³.

  Из них событию  B = {Есть двойняшки}  благоприятствуют два элементарных события (цепочки, содержащие красные рёбра) с суммарной вероятностью 2pq. Значит, условная вероятность  

  в) Как мы знаем, вероятность того, что случайно взятый первоклассник является одним из пары двойняшек, равна 2p/p+1. Введем случайную величину Ikиндикатор двойняшки:  Ik = 1,  если k-й первоклассник – один из пары двойняшек и  Ik = 0,  если k-й первоклассник – одиночка.  EIk = 2p/p+1.

  Общее число S пар первоклассников-двойняшек равно  ½ (I1 + I2 + ... + IN).
  Следовательно,  


Ответ

а)  ;   б)   ;   в)   .

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2013
задача
Номер 15

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .