ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65356
Темы:    [ Дискретное распределение ]
[ Средние величины ]
[ Условная вероятность ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На столе разложена колода игральных карт (например, в ряд). Поверх каждой карты положили карту другой колоды. Некоторые карты, возможно, совпали. Найдите:
  а) математическое ожидание числа совпадений;
  б) дисперсию числа совпадений.


Решение

  а) Пронумеруем пары от 1 до N (мы не знаем, сколько их) в том порядке, в каком они лежат на столе. Пусть индикатор Ik равен 1, если в k-й паре оказались две одинаковые карты, и 0, если в k-й паре карты не одинаковы. Очевидно,  P(Ik = 1) = 1/N.  Значит,  EIk = 1/N.
  Пусть S – число пар с совпадением. Оно равно  I1 + I2 + ... + IN.  Следовательно,  ES = EI1 + EI2 + ... + EIN = N·1/N = 1.

  б)  ,  где в скобках стоит сумма попарных произведений всевозможных различных индикаторов.
  Очевидно,    поэтому  .
  Теперь рассмотрим величину IjIk. Она равна 1, если карты совпали и в j-й, и в k-й паре. В j-й паре карты совпадают с вероятностью 1/N. Если это произошло, то вероятность совпадения карт в k-й паре равна 1/N–1. Поэтому  P(IjIk = 1) = 1/N(N–1)  Во всех остальных случаях IjIk = 0. Следовательно,  E(IjIk) = 1/N(N–1).
 Значит,  ES² = N·1/N + N(N – 1)·1/N(N–1) = 1 + 1 = 2,  и, следовательно,  DS = ES² – (ES)² = 2 – 1 = 1.


Ответ

а) 1;  б) 1.

Замечания

Здесь используется фабула хорошо известной задачи о совпадениях, но вопрос стоит не о вероятности, а об ожидании и дисперсии числа совпадений. Как ни странно, решить эту задачу легче, чем найти вероятность. Отметим, что ни ожидание, ни дисперсия числа совпадений не зависят от количества карт в колоде.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Заочная олимпиада по теории вероятностей и статистике
год
Дата 2013
задача
Номер 16

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .