ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65365
Темы:    [ Перпендикулярные прямые ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ ГМТ - прямая или отрезок ]
[ Радикальная ось ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Через вершины B и C треугольника ABC провели перпендикулярно прямой BC прямые b и c соответственно. Серединные перпендикуляры к сторонам AC и AB пересекают прямые b и c в точках P и Q соответственно. Докажите, что прямая PQ перпендикулярна медиане AM треугольника ABC.


Решение 1

  Пусть M – середина стороны BC. Достаточно доказать, что  AP² – AQ² = MP² – MQ²  (см. задачу 53602).
  Поскольку P и Q лежат на серединных перпендикулярах к AC и BC соответственно,
AP² – AQ² = CP² – BQ² = (BC² + BP²) – (BC² + CQ²) = (MB² + BP²) – (MC² + CQ²) = MP² – MQ².


Решение 2

  Проведём окружность с центром P, проходящую через A. Она пересечёт прямую BC в точке C и точке K, симметричной C относительно B. Аналогично окружность с центром Q, проходящая через A, пересечёт BC в точке B и точке L, симметричной B относительно C. Степени точки M относительно этих окружностей равны  (MC·MK = 3MC² = MB·ML),  так что их радикальная ось – это AM и она перпендикулярна линии центров PQ (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2015
класс
Класс 8
задача
Номер 8.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .