Задача 65370

Темы:    [ Пересекающиеся окружности ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ] [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Теорема косинусов ] [ Квадратные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Условие

Авторы: Полянский А., Харитонов М.

На плоскости нарисованы 100 кругов, каждые два из которых имеют общую точку (возможно, граничную).
Докажите, что найдётся точка, принадлежащая не менее чем 15 кругам.

Решение

  Пусть K – наименьший из данных кругов (будем считать, что его радиус равен 1), O – центр K, A₁A₂A₃A₄A₅A₆ – правильный шестиугольник с центром O и стороной . Докажем, что каждый из данных кругов содержит одну из точек O, A₁, ..., A₆; из этого (по принципу Дирихле) будет следовать утверждение задачи.
  Пусть O' – центр некоторого круга K'. Если O' лежит в K, то круг K' содержит O, так как его радиус не меньше 1.
  Разберём случай  OO' > 1.  Луч OO' образует с одним из лучей OA_i угол, не больший 30°. Пусть это луч OA₁, тогда  
  Если  1 < O'O ≤ 2,  то  O'A₁ ≤ 1  и K' содержит A₁. Если же  O'O > 2,  то  O'A₁ < O'O – 1.  Но радиус K' не меньше чем  O'O – 1,  так как этот круг пересекается с K; следовательно, и в этом случае K' содержит A₁.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
класс
Класс	9
задача
Номер	9.3