Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64402

Темы:   [ Описанные четырехугольники ] [ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ] [ Теорема косинусов ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 3+

В описанном четырёхугольнике ABCD  AB = CD ≠ BC.  Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что угол ALB острый.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64648

Темы:   [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ] [ Теорема синусов ] [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали перпендикулярны. На сторонах AD и CD отмечены соответственно точки M и N так, что углы ABN и CBM прямые. Докажите, что прямые AC и MN параллельны.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64809

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Вневписанные окружности ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Средняя линия треугольника ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда  AC + BC = 3AB.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111827

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, AC, AB в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Отрезок AA₁ вторично пересекает вписанную окружность в точке Q. Прямая l параллельна BC и проходит через A. Прямые A₁C₁ и A₁B₁ пересекают l в точках P и R соответственно. Докажите, что  ∠PQR = ∠B₁QC₁.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111834

Темы:   [ Шахматная раскраска ] [ Свойства разверток ] [ Куб ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Грани куба 9×9×9 разбиты на единичные клетки. Куб оклеен без наложений бумажными полосками 2×1 (стороны полосок идут по сторонам клеток). Докажите, что число согнутых полосок нечётно.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: 1 2 3 4 >> [Всего задач: 16]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями