ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64402
Темы:    [ Описанные четырехугольники ]
[ Неравенства для элементов треугольника (прочее) ]
[ Теорема косинусов ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы:
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В описанном четырёхугольнике ABCD  AB = CD ≠ BC.  Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке L. Докажите, что угол ALB острый.


Решение

  Предположим, что  ∠ALB ≥ 90°.  Тогда AB² ≥ AL² + BL²  и  CD² ≥ CL² + DL²;  отсюда же получаем, что  AD² ≤ AL² + DL²  и  BC² ≤ BL² + CL².  Значит,
2AB² = AB² + CD² ≥ AD² + BC².
  С другой стороны, из описанности имеем  2AB = AB + CD = BC + AD.  Значит,  AD ≠ BC,  и  2(AD² + BC²) = (AD + BC)² + (AD – BC)² > (2AB)² = 4AB².   Противоречие.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2013
класс
Класс 10
задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .