ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 111827
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Вписанная окружность треугольника ABC касается сторон BC, AC, AB в точках A1, B1, C1 соответственно. Отрезок AA1 вторично пересекает вписанную окружность в точке Q. Прямая l параллельна BC и проходит через A. Прямые A1C1 и A1B1 пересекают l в точках P и R соответственно. Докажите, что  ∠PQR = ∠B1QC1.

Решение

A1B1Q = ∠BA1A = ∠A1AR = ∠QAR.   Значит, четырёхугольник ARB1Q – вписанный. Аналогично вписанным является и четырёхугольник PAQC1. Следовательно,  ∠PQR = ∠PQA + ∠RQA = ∠PC1A + ∠RB1A = ∠A1C1B + ∠A1B1C = ∠A1QC1 + ∠A1QB1 = ∠B1QC1.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2007
Этап
Вариант 5
Класс
Класс 11
задача
Номер 07.5.11.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .