Задача 66686

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Полянский А.

В треугольнике $ABC$ через центр $I$ вписанной окружности $w$ провели прямую, параллельную стороне $BC$, до пересечения с вписанной окружностью в точках $A_B$ и $A_C$ ($A_B$ находится в той же полуплоскости относительно прямой $AI$, что и точка $B$). После этого нашли точку пересечения прямых $BA_B$ и $CA_C$ и обозначили её через $A_1$. Аналогично построили точки $B_1$ и $C_1$. Докажите, что прямые $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ пересекаются в одной точке.

Решение 1

Поскольку $\angle A_BIB=\angle IBC=\angle IBA=\angle C_BIB$, точки $A_B$ и $C_B$ симметричны относительно биссектрисы угла $B$ (см. рис.).

По теореме Чевы $$\frac{\sin \mathrm{\angle }CA{A}_1}{\sin \mathrm{\angle }BA{A}_1}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }AB{A}_B}{\sin \mathrm{\angle }CB{A}_B}\cdot \frac{\sin \mathrm{\angle }BC{A}_C}{\sin \mathrm{\angle }AC{A}_C}=1.$$ Перемножив это и два аналогичных равенства, получим утверждение задачи.

Решение 2

Так как отрезки $A_BA_C$ и $BC$ гомотетичны относительно точки $A_1$, прямая $A_1I$ проходит через середину $M$ стороны $BC$, причем $A_1I:A_1M = 2r:BC$. Поэтому расстояние от $A_1$ до прямой $AC$ равно $r(BC-h_b)/(BC-2r)$, где $h_b$ – длина высоты из вершины $B$. Аналогично получаем, что расстояние от $A_1$ до $AB$ равно $r(BC-h_c)/(BC-2r)$. Следовательно, $\sin\angle A_1AC:\sin\angle A_1AB=(1-\sin\angle C):(1-\sin\angle B)$. Написав аналогичные равенства для точек $B_1$, $C_1$ и применив теорему Чевы, получим утверждение задачи.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2018
класс
Класс	10
задача
Номер	10.5