ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64648
Темы:    [ Четырехугольник: вычисления, метрические соотношения. ]
[ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]
[ Площадь треугольника (через две стороны и угол между ними) ]
[ Теорема синусов ]
[ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Теоремы Чевы и Менелая ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали перпендикулярны. На сторонах AD и CD отмечены соответственно точки M и N так, что углы ABN и CBM прямые. Докажите, что прямые AC и MN параллельны.


Решение

  Достаточно доказать, что  
  Первый способ. Заметим, что  ∠BAC = ∠DBN,  ∠BCA = ∠DBM,  ∠ABM = ∠CBN  (углы с взаимно перпендикулярными сторонами); обозначим эти углы α, β и φ.
  Имеем     Аналогично     Осталось заметить, что     по теореме синусов для треугольника ABC.

  Второй способ. Проведём через точки A и C прямые, параллельные MB и NB соответственно. Они пересекутся в точке L. Тогда прямые СВ и AB будут высотами в треугольнике ALC. Значит, прямая LB – тоже высота. Следовательно, точка L лежит на прямой BD. Поэтому  

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 35
Дата 2013/2014
вариант
Вариант весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
задача
Номер 2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .