ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 64809
Темы:    [ Три точки, лежащие на одной прямой ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Медиана, проведенная к гипотенузе ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда  AC + BC = 3AB.


Решение 1

  Обозначим через A1, B1 и C1 середины дуг BC, CA и AB, не содержащих других вершин треугольника ABC (рис. слева), через A0 и B0 – точки касания вписанной окружности со сторонами BC и CA соответственно, а через C2 – точку пересечения A1B1 и CC1.
  Пусть MN проходит через I. Так как A1N и B1M – диаметры, то хорды A1B1 и MN равны и параллельны. Ввиду очевидного равенства треугольников A1CB1 и A1IB1 прямая A1B1 – серединный перпендикуляр к отрезку CI. Из симметрии относительно серединного перпендикуляра к CC1 имеем
CC2 = C1I,  кроме того, из прямоугольного треугольника CA0I получим, что  C2A0 = C2C.  По теореме о трезубце (см. задачу 53119)
C2A0 = C2C = IC1 = C1A = C1B.  Следовательно, треугольники C2CA0 и C1AB равны и  AB = CA0.  Отсюда и получаем равенство
AC + CB = AB0 + B0C + CA0 + A0B = 2AB + AB0 + A0B = 3AB.
  В обратную сторону доказательство аналогично.

         


Решение 2

  Пусть J – центр вневписанной окружности, касающейся стороны AB (рис. справа). Заметим, что точки M и N являются центрами описанных окружностей треугольников ACJ и BCJ (этот вариант теоремы о трезубце также доказывается подсчётом углов). Следовательно, MN – серединный перпендикуляр к отрезку CJ, то есть I – середина CJ. Сделав гомотетию с центром C и коэффициентом ½, получим, что вписанная окружность касается средней линии треугольника ABC, параллельной AB. Условие описанности трапеции, образованной этой средней линией и сторонами, равносильно требуемому равенству.
  Обратное утверждение доказывается аналогично.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по геометрии
год
Год 2014
класс
Класс 9
задача
Номер 9.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .