Задача 65380

Темы:    [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Автор: Швецов Д.В.

В прямоугольном неравнобедренном треугольнике ABC точка M – середина гипотенузы AC, точки H_a, H_c – ортоцентры треугольников ABM, CBM соответственно, прямые AH_c, CH_a пересекаются в точке K. Докажите, что  ∠MBK = 90°.

Решение

Так как прямые AH_a и CH_c перпендикулярны BM, четырёхугольник AH_aCH_c – трапеция, а K – точка пересечения продолжений ее боковых сторон. Кроме того, так как треугольники AMB и CMB равнобедренные, то  H_aA = H_aB  и  H_cC = H_cB.  Следовательно,  KC : KH_a = CH_c : AH_a = BH_c : BH_a,  то есть  KB || CH_c ⊥ BM  (см. рис.).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2015
задача
Класс	10
задача
Номер	10.5