Задача 65394

Темы:    [ Прямоугольные параллелепипеды ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Развертка помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Маркелов С.В.

Дана коробка (прямоугольный параллелепипед), по поверхности (но не внутри) которой ползает муравей. Изначально муравей сидит в углу. Верно ли, что среди всех точек поверхности на наибольшем расстоянии от муравья находится противоположный угол? (Расстоянием между двумя точками считаем длину соединяющего их кратчайшего пути по поверхности параллелепипеда.)

Решение

  Кратчайший путь по поверхности параллелепипеда равен кратчайшему из прямых путей на развёртках. Посмотрим на часть развёртки параллелепипеда 2×2×12 (см. рис.).

  Расстояние от угла A до противоположного угла B не больше длины отрезка AB. Расстояние от A до центра квадратной грани равно длине отрезка AL (до других положений центра на развёртках, например до L', расстояние, очевидно, больше). Пусть D – середина стороны квадратика. Прямоугольные треугольники ACB и BDL подобны (их катеты пропорциональны), поэтому угол ABL прямой и гипотенуза AL больше катета AB.

Ответ

Неверно.

Замечания

8-9 кл. – 7 баллов, 10-11 кл. – 6 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	25
Дата	2003/2004
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 8-9 класс
задача
Номер	6
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	25
Дата	2003/2004
вариант
Вариант	осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер	3