ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65398
Темы:    [ Тетраэдр (прочее) ]
[ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Параллелограмм Вариньона ]
[ Свойства сечений ]
[ Центр масс ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

У тетраэдра ABCD сумма площадей двух граней (с общим ребром AB) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром CD). Докажите, что середины ребер BC, AD, AC и BD лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.


Решение

  Пусть K, L, M, N – середины ребер AC, BC, BD и AD. Как известно, KLMN – параллелограмм (это параллелограмм Вариньона).
  Отметим на AB точку P так, чтобы были равны длины pA и pB перпендикуляров, опущенных из неё на плоскости BCD и ACD (очевидно, такая точка существует). Аналогично, отметим на CD точку Q, равноудалённую от плоскостей ABD и ABC.
  Середина O отрезка PQ лежит на средней линии UV треугольника CPD (U – середина CP, V – середина DP). Но U, в свою очередь, лежит на средней линии KL треугольника ACB, то есть в плоскости KLMN. По аналогичным причинам в этой же плоскости лежит точка , а, значит, и точка O.
  Докажем, что O – центр вписанной сферы, то есть равноудалена от граней тетраэдра. Пусть rA, rB, rC, rD – длины перпендикуляров, опущенных из точки O соответственно на плоскости BCD, ACD, ABD, ABC. Заметим, что  rA = ½ pA = ½ pB = rB.  Аналогично,  rC = rD.
  Далее  rA(SBCD + SACD) = rASBCD + rBSACD = ½ (pASBCD + pBSACD) = ⅙ (VBCDP + VACDP) = ⅙ VABCD.
  Аналогично,  rC(SABC + SABD) = ⅙ VABCD.
  Отсюда  rA = rC,  и все доказано.

Замечания

1. Для знатоков. По существу изложено следующее рассуждение. Центр вписанной сферы O есть центр тяжести вершин тетраэдра, в которые помещены массы, равные площадям противоположных граней. P – центр тяжести точек A и B, Q – точек C и D. В силу условия общий центр тяжести O лежит в середине отрезка PQ. Параллелограмм KLMN есть геометрическое место середин отрезков с концами на AB и CD.

2. 7 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 25
Дата 2003/2004
вариант
Вариант осенний тур, основной вариант, 10-11 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .