|
|
 |
Условие
У тетраэдра ABCD сумма площадей двух граней (с общим ребром AB) равна сумме площадей оставшихся граней (с общим ребром CD). Докажите, что середины рёбер BC, AD, AC и BD лежат в одной плоскости, причём эта плоскость содержит центр сферы, вписанной в тетраэдр ABCD.
Решение
Пусть K, L, M, N – середины ребер AC, BC, BD и AD. Как известно, KLMN – параллелограмм (это параллелограмм Вариньона).
Отметим на AB точку P так, чтобы были равны длины pA и pB перпендикуляров, опущенных из неё на плоскости BCD и ACD (очевидно, такая точка существует). Аналогично отметим на CD точку Q, равноудалённую от плоскостей ABD и ABC.
Середина O отрезка PQ лежит на средней линии UV треугольника CPD (U – середина CP, V – середина DP). Но U, в свою очередь, лежит на средней линии KL треугольника ACB, то есть в плоскости KLMN. По аналогичным причинам в этой же плоскости лежит точка , а, значит, и точка O.
Докажем, что O – центр вписанной сферы, то есть равноудалена от граней тетраэдра. Пусть rA, rB, rC, rD – длины перпендикуляров, опущенных из точки O соответственно на плоскости BCD, ACD, ABD, ABC. Заметим, что rA = ½ pA = ½ pB = rB. Аналогично rC = rD.
Далее rA(SBCD + SACD) = rASBCD + rBSACD = ½ (pASBCD + pBSACD) = ⅙ (VBCDP + VACDP) = ⅙ VABCD.
Аналогично, rC(SABC + SABD) = ⅙ VABCD.
Отсюда rA = rC, и все доказано.
Замечания
1. Для знатоков. По существу изложено следующее рассуждение. Центр вписанной сферы O есть центр тяжести вершин тетраэдра, в которые помещены массы, равные площадям противоположных граней. P – центр тяжести точек A и B, Q – точек C и D. В силу условия общий центр тяжести O лежит в середине отрезка PQ. Параллелограмм KLMN есть геометрическое место середин отрезков с концами на AB и CD.
2. 7 баллов.
