ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65420
Темы:    [ Правильный тетраэдр ]
[ Разрезания на части, обладающие специальными свойствами ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Мерзон Г.

Разрежьте правильный тетраэдр на равные многогранники с шестью гранями.


Решение

  Приведём примеры, в которых правильный тетраэдр разрезается на два, на три и на четыре равных шестигранника.
  Разрезание на 2 части. Возьмём центр правильного тетраэдра и соединим его с каждой из вершин. Получится разрезание тетраэдра на четыре равные правильные пирамиды, у каждой из которых по четыре грани. Если объединить эти части по две, получатся два равных шестигранника.
  Разрезание на 3 части. Разрежем правильный треугольник на три равных пятиугольника (см. рис.). Пятиугольники равны, так как совмещаются поворотом на 120°. Если взять такую картинку в основании тетраэдра и соединить оставшуюся вершину тетраэдра с каждой из вершин пятиугольников, то получится разрезание тетраэдра на три равных шестигранника (каждый из которых является невыпуклой пирамидой).

  Разрезание на 4 части. Во всех предыдущих решениях части шестигранники были невыпуклыми, но можно разрезать тетраэдр и на равные выпуклые шестигранники. Соединим сначала на каждой из граней центр с серединой каждого ребра грани. Грани окажутся разбиты на равные четырёхугольники. Теперь соединим центр тетраэдра со всеми центрами граней – и получится разбиение тетраэдра на четыре равных шестигранника с четырёхугольными гранями. (Центр тетраэдра, центры двух граней и середина их общего ребра лежат в одной плоскости – а именно, в плоскости, проходящей через середину ребра и содержащей противоположное ребро.)

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2015
задача
Номер 9

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .