Версия для печати
Убрать все задачи

---

Существует ли выпуклый 1000-угольник, у которого все углы выражаются целыми числами градусов?

   Решение

---

Вася сложил четвёртую степень и квадрат некоторого числа, отличного от нуля, и сообщил результат Пете.
Сможет ли Петя однозначно определить Васино число?

   Решение

---

Соедините точки А и В (см. рисунок) ломаной из четырёх отрезков одинаковой длины так, чтобы выполнялись следующие условия:
  1) концами отрезков могут быть только какие-то из отмеченных точек;
  2) внутри отрезков не должно быть отмеченных точек;
  3) соседние отрезки не должны лежать на одной прямой.

   Решение

Темы:    [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Периметр треугольника ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника
  а) не больше ¾ P, где P – периметр этого треугольника;
  б) не меньше ¾ p, где p – полупериметр этого треугольника.

Решение

  Пусть a и b – половины сторон (см. рис.). Тогда c – средняя линия и равна половине третьей стороны. Напомним, что медианы делятся точкой пересечения в отношении  2 : 1.  Запишем три неравенства треугольника и сложим их.

  а)  3x < a + c,  3y < b + c,  c < x + y.  Отсюда  2(x + y) < a + b + c.  Осталось умножить на ³/₂.
  б)  a < 2x + y,  b < x + 2y,  c < x + y.  Отсюда  a + b + c < 4(x + y).  Осталось умножить на ¾.

Замечания

Баллы: 3 + 5

Источники и прецеденты использования