ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65464
Темы:    [ Теория игр (прочее) ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Из спичек сложен клетчатый квадрат 9×9, сторона каждой клетки – одна спичка. Петя и Вася по очереди убирают по спичке, начинает Петя. Выиграет тот, после чьего хода не останется целых квадратиков 1×1. Кто может действовать так, чтобы обеспечить себе победу, как бы ни играл его соперник?


Решение

  Заметим, что перед Васиным ходом всегда будет оставаться нечётное число спичек. Понятно, что выиграет тот, кому достанется позиция, когда квадратиков один или два смежных (по стороне). Поэтому Васе достаточно не оставлять после себя такой позиции, и тогда он выиграет, поскольку ничья невозможна. Покажем, как он может делать это в разных случаях.
  1) Осталось больше трёх квадратиков. Он возьмёт крайнюю спичку, испортив не более одного квадратика.
  2) Осталось три квадратика. Он возьмёт спичку не из них, а если таких спичек нет, то из-за нечётности числа спичек ясно, что два квадратика смежны, а третий не смежен с ними; тогда он испортит один из смежных квадратиков.
  3) Осталось два квадратика, и они не смежны. Из-за нечётности есть спичка, в них не входящая, которую и возьмёт Вася.
  Все позиции рассмотрены.


Ответ

Вася.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .