ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65465
Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В треугольнике ABC медианы AA0, BB0, CC0 пересекаются в точке M.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников MA0B0, MCB0, MA0C0, MBC0 и точка M лежат на одной окружности.


Решение

  Пусть ω1, ω2, ω3, ω4 – указанные в условии окружности (в порядке их перечисления), а O1, O2, O3, O4 – их центры. Чтобы избежать разбора случаев, считаем все углы ориентированными. Так как невыпуклый четырёхугольник MB0A0C0 не может быть вписанным, то точки O1 и O3 различны. Прямая O1O3 – серединный перпендикуляр к MA0, поэтому MO1O3 – треугольник с описанной окружностью ω.
  Угол MO1O3 равен половине центрального угла MO1A0 окружности ω1, то есть вписанному в неё углу MB0A0. Если O4 совпадает с O3, то всё доказано, иначе прямая O4O3 – серединный перпендикуляр к отрезку 0, поэтому угол MO4O3 равен половине центрального угла MO4C0 окружности ω4, то есть вписанному в неё углу MBC0. А углы MB0A0 и MBС0 равны из параллельности B0A0 и 0. Поэтому  ∠MO1O3 = ∠MO4O3,  то есть O4 лежит на ω. Аналогично O2 лежит на ω.
  На рисунках приведены различные случаи расположения точек.

Замечания

8 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .