ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65471
Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4-
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Дидин М.

Дан вписанный четырёхугольник АВСD. Продолжения его противоположных сторон пересекаются в точках P и Q. Пусть К и N – середины диагоналей.
Докажите, что сумма углов PKQ и PNQ равна 180°.


Решение

Обозначим точки как на рисунке. Треугольники ACP и BDP подобны, поскольку у них углы C и D опираются на одну дугу, а угол P общий. Поэтому соответственные медианы в них отсекают подобные треугольники ANP и BKP. Следовательно, углы ANP и BKP равны. Аналогично, подобие треугольников ACQ и DBQ влечёт равенство углов ANQ и DKQ. Следовательно,  ∠PKQ + ∠PNQ = ∠PKQ + ∠BKP + ∠DKQ = ∠BKD = 180°.

Замечания

7 баллов

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2015/16
Номер 37
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс ()
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .