Задача 65477

Тема:    [ Целочисленные и целозначные многочлены ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

У многочленов Р(х) и Q(х) – один и тот же набор целых коэффициентов (их порядок – различен).
Докажите, что разность  Р(2015) – Q(2015)  кратна 1007.

Решение

  У данных многочленов равны суммы коэффициентов, значит,  Р(1) = Q(1).  Поэтому  Р(2015) – Q(2015) = (Р(2015) – Р(1)) – (Q(2015) – Q(1)).
  По теореме Безу для целочисленных многочленов (см. решение задачи 35562) каждая из разностей  Р(2015) – Р(1)  и  Q(2015) – Q(1)  кратна 2014, поэтому разность   Р(2015) – Q(2015)  также кратна  2014 = 2·1007.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	11
задача
Номер	11.2.1