Задача 65480
|
|
 |
Условие
Решите уравнение 2 sin πx/2 – 2 cos πx = x5 + 10x – 54.
Решение
Перенеся все слагаемые в одну часть, получим уравнение x5 + 10x – 54 – 2 sin πx/2 + 2 cos πx = 0. Рассмотрим функцию
f(x) = x5 + 10x – 54 – 2 sin πx/2 + 2 cos πx. Заметим, что f'(x) = 5x4 + 10 – π cos πx/2 – 2 sin πx > 5x4 + 10 – 3π > 0. Следовательно, f(x) – возрастающая функция, поэтому уравнение f(x) = 0 имеет не более одного корня.
Так как f(2) = 32 + 20 – 54 – 2 sin π + 2 cos 2π = 0, то 2 – корень исходного уравнения.
Ответ
2.
