|
|
 |
Условие
Четырёхугольник АВСD вписан в окружность, I – центр вписанной окружности треугольника ABD.
Найдите наименьшее значение BD, если AI = BC = CD = 2.
Решение
Из условия следует равенство дуг BC и CD, значит, биссектриса AI угла ВАD пересекает окружность в точке С (см. рисунки). По лемме о трезубце
СI = CB = CD = 2. Далее можно рассуждать по-разному.
Первый способ. Пусть K и N – основания перпендикуляров, опущенных из точек C и I на BD
и AD соответственно (рис. слева), тогда из равенства прямоугольных треугольников BKC и ANI следует, что CK = IN. Перпендикуляр IP к диагонали BD также равен IN (это радиусы вписанной окружности треугольника ABD), поэтому BD пересекает отрезок CI в его середине L. Таким образом, CL = IL = 1.
По теореме о произведении отрезков хорд BL·
DL = AL·CL. Пусть BL = x, DL = y, тогда xy = 3. Из неравенства Коши следует, что наименьшее значения суммы x + y достигается, если x = y = .
Следовательно, значение BD = 2
– наименьшее из возможных.
Второй способ. По теореме Птолемея (см. задачу 52468) AD·
ВС + AB·CD = AC·BD, то есть 2AD + 2AB = 4BD. Следовательно, BD = ½ (AB + AD) (треугольник АВD, обладающий таким свойством называется разностным).
Без ограничения общности можно считать, что AB ≥ AD. Проведём окружность с центром С и радиусом 2, которая пересечёт сторону АВ в точке Е (рис. справа). Биссектриса АС угла ВАD является её осью симметрии и осью симметрии угла, значит, точки E и D симметричны относительно АС. Следовательно, АЕ = AD.
По теореме о произведении отрезков секущих АЕ·
АВ = AI·AF (IF – диаметр построенной окружности). Следовательно, АD·АВ = 2·
6 = 12.
По неравенству Коши BD = ½ (AB + AD) ≥ = 2
. Равенство достигается, если AB = AD.
Ответ
2.
Замечания
Доказанное равенство AI = IC является характеристическим свойством разностных треугольников. Полученный результат показывает, что в таких треугольниках наименьшее значение длины стороны BD при заданном значении длины АI достигается, если треугольник ABD – равносторонний, а точка I совпадает с центром его описанной окружности.
