ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65525
Темы:    [ Тригонометрические неравенства ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Решите неравенство   .


Решение

  1) Заметим, что  x ≠ 0  и  .  Так как  |x + 1/x| ≥ 2,  то  |t| ≤ ½ < π/2.  Следовательно, аргумент t на единичной окружности лежит в I или в IV координатной четверти.
  2) Если  x > 0,  то  0 < t ≤ ½,  то есть t лежит в I четверти, поэтому  sin t > 0  и  cos t > 0.  Кроме того,  1/t > 0,  значит,  sin t + 1/t cos t > 0.  Таким образом, при всех  x > 0  исходное неравенство верно.
  3) Если  x > 0,  то  –1/2 ≤ t < 0,  то есть t лежит в IV четверти, поэтому  sin t < 0  и  cos t > 0.  1/t < 0,  значит,  sin t + 1/t cos t < 0.  Таким образом, при всех
x < 0  исходное неравенство неверно.


Ответ

(0, +∞).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2015
класс
Класс 11
задача
Номер 11.4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .