В шахматном турнире было 10 участников. В каждом туре участники разбивались на пары и в каждой паре играли друг с другом одну игру. В итоге каждый участник сыграл с каждым ровно один раз, причём не меньше чем в половине всех игр участники были земляками (из одного города). Докажите, что в каждом туре хоть одна игра была между земляками.

   Решение

Темы:    [ Тригонометрические неравенства ] [ Неравенство Коши ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Прислать комментарий

Условие

Решите неравенство   .

Решение

  1) Заметим, что  x ≠ 0  и  .  Так как  |x + ¹/_x| ≥ 2,  то  |t| ≤ ½ < ^π/₂.  Следовательно, аргумент t на единичной окружности лежит в I или в IV координатной четверти.
  2) Если  x > 0,  то  0 < t ≤ ½,  то есть t лежит в I четверти, поэтому  sin t > 0  и  cos t > 0.  Кроме того,  ¹/_t > 0,  значит,  sin t + ¹/_t cos t > 0.  Таким образом, при всех  x > 0  исходное неравенство верно.
  3) Если  x > 0,  то  –1/2 ≤ t < 0,  то есть t лежит в IV четверти, поэтому  sin t < 0  и  cos t > 0.  ¹/_t < 0,  значит,  sin t + ¹/_t cos t < 0.  Таким образом, при всех
x < 0  исходное неравенство неверно.

Ответ

(0, +∞).

Источники и прецеденты использования