Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
Можно ли целые числа от 1 до 2004 расставить в некотором порядке так, чтобы сумма каждых десяти подряд стоящих чисел делилась на 10?
Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.
Имеется несколько городов, некоторые из них соединены автобусными маршрутами (без остановок в пути). Из каждого города можно проехать в любой другой (возможно, с пересадками). Иванов купил по одному билету на каждый маршрут (то есть может проехать по нему один раз всё равно в какую сторону). Петров купил n билетов на каждый маршрут. Иванов и Петров выехали из города A. Иванов использовал все свои билеты, новых не покупал и оказался в другом городе B. Петров некоторое время ездил по купленным билетам, оказался в городе X и не может из него выехать, не купив новый билет. Докажите, что X – это либо A, либо B
|
|
 |
Условие
Имеется несколько городов, некоторые из них соединены автобусными маршрутами (без остановок в пути). Из каждого города можно проехать в любой другой (возможно, с пересадками). Иванов купил по одному билету на каждый маршрут (то есть может проехать по нему один раз всё равно в какую сторону). Петров купил n билетов на каждый маршрут. Иванов и Петров выехали из города A. Иванов использовал все свои билеты, новых не покупал и оказался в другом городе B. Петров некоторое время ездил по купленным билетам, оказался в городе X и не может из него выехать, не купив новый билет. Докажите, что X – это либо A, либо B
Решение
Пусть Петров в некоторый момент оказался в городе C, отличном от A и B. Из C выходит чётное число маршрутов (поскольку Иванов выезжал из него столько же раз, сколько въезжал). Значит, у Петрова вначале было чётное число билетов на маршруты из C. Но израсходовал он к этому моменту только нечётное число из них (въехал в C на один раз больше, чем выехал), поэтому выехать из C Петров может.
Замечания
4 балла
