Задача 65550

Темы:    [ Деление с остатком ] [ Классическая комбинаторика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Условие

Автор: Толпыго А.К.

Сколько существует разных способов разбить число 2004 на натуральные слагаемые, которые приблизительно равны? Слагаемых может быть одно или несколько. Числа называются приблизительно равными, если их разность не больше 1. Способы, отличающиеся только порядком слагаемых, считаются одинаковыми.

Решение

Каждый способ однозначно определяется числом слагаемых. Действительно, пусть 2004 разбито на n слагаемых, r из которых равны  q + 1,  а остальные равны q  (0 ≤ r < n).  Тогда  2004 = qn + r.  Таким образом, числа q и r суть частное и остаток от деления 2004 на n, они однозначно определены выбором n. Итак, выбирая любое n от 1 до 2004, получаем единственное разбиение 2004 на n приблизительно равных слагаемых.

Ответ

2004 способа.

Замечания

8-9 кл. – 5 баллов, 10-11 кл. – 4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	26
Дата	2004/2005
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер	4
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Номер	26
Дата	2004/2005
вариант
Вариант	осенний тур, тренировочный вариант, 8-9 класс
задача
Номер	5