ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65553
Тема:    [ Многочлен n-й степени имеет не более n корней ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны два многочлена P(x) и Q(x) положительной степени, причём выполнены тождества  PP(x)) ≡ Q(Q(x))  и  P(P(P(x))) ≡ Q(Q(Q(x))).
Обязательно ли тогда  P(x) ≡ Q(x)?


Решение

Из равенства  P(P(P(x))) = Q(Q(Q(x))) = Q(P(P(x)))  следует, что P и Q совпадают на множестве значений многочлена P(P(x)). Это множество бесконечно, так как P(P(x)) имеет положительную степень. Значит,  P – Q ≡ 0  (ненулевой многочлен не может иметь бесконечного числа корней).


Ответ

Обязательно.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Номер 26
Дата 2004/2005
вариант
Вариант осенний тур, тренировочный вариант, 10-11 класс
задача
Номер 3

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .