|
|
 |
Условие
Пусть A и B – два прямоугольника. Из прямоугольников, равных A, сложили прямоугольник, подобный B.
Докажите, что из прямоугольников, равных B, можно сложить прямоугольник, подобный A.
Решение
Прямоугольники, равные A, назовём кирпичами. Пусть у A размеры a1×a2, у B – b1×b2, P – сложенный из кирпичей прямоугольник, подобный B. Тогда его размеры (pa1 + qa2) ×(ra1 + sa2), где p, q, r, s – некоторые целые числа.
Предположим сначала, что отношение сторон кирпича рационально. Тогда и отношение сторон прямоугольника P (а, значит, и подобного ему прямоугольника B) тоже рационально. Поэтому из прямоугольников, равных B, можно сложить квадрат, а из таких квадратов – прямоугольник, подобный A.
Пусть теперь отношение a1/a2 сторон кирпича иррационально.
Заметим, что если какое-то число представимо в виде za1 + ta2, где z и t – целые числа, то числа z и t определяются однозначно (если
za1 + ta2 = Za1 + Ta2, то (z – Z)a1 = (t – T)a2, и при z ≠ Z отношение a1/a2 будет рационально, что противоречит предположению).
Можно считать, что к левому нижнему углу примыкает горизонтальный кирпич (ширины а1). Продолжим правую сторону кирпича до отрезка максимальной длины, идущего по сторонам кирпичей. К нему примыкает (ввиду единственности представления длины) поровну горизонтальных кирпичей слева и справа. Слева такой кирпич есть, значит справа – тоже (пока мы не утверждаем, что он примыкает к нижней стороне прямоугольника, хотя из дальнейшего это будет следовать). Продолжим до максимального отрезка правую сторону этого горизонтального кирпича, найдём примыкающий к этому отрезку справа горизонтальный кирпич, и т. д., пока не дойдём до правой стороны Р. Значит, горизонтальная сторона Р кратна а1. Аналогично вертикальная сторона кратна а2.
Но тогда отношение b1/b2 сторон прямоугольника B равно za1/ta2, где z и t целые. Следовательно, tb1/zb2 = a1/a2, и можно получить прямоугольник, подобный A, расположив равные B прямоугольники ширины b1 в z рядов по t штук в ряду.
Замечания
Баллы: 8-9 кл. – 8, 10-11 кл. – 7.
