Задача 65591

Темы:    [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8,9

Условие

Внутри ромба АВСD выбрана точка N так, что треугольник ВСN – равносторонний. Биссектриса BL треугольника ABN пересекает диагональ АС в точке K. Докажите, что точки K, N и D лежат на одной прямой.

Решение

  Пусть  ∠АВK = ∠KВN = α,  тогда  ∠АВC = 60° + 2α,  ∠ВАD = 180° – ∠АВC = 120° – 2α,  ∠ВАK = ½ ∠ВАD = 60° – α.  Из условия также следует, что
AB = BN.  Следовательно, треугольники ABK и NBK равны по двум сторонам и углу между ними, значит,  ∠KNB = ∠KAB = 60° – α.
  Кроме того,  ∠NCD = ∠BCD – ∠BCN = 60° – 2α.  Так как треугольник CDN – равнобедренный, то  ∠CND = ½ (180° – ∠NCD) = 60° + α.
  Таким образом,  ∠KNB + ∠BNC + ∠CND = 60° – α + 60° + 60° + α = 180°,  значит, точки K, N и D лежат на одной прямой.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2015/16
класс
Класс	8
задача
Номер	8.3.2