ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65599
Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ]
[ Четность и нечетность ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3+
Классы: 5,6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Аня захотела вписать в каждую клетку таблицы 5×8 по одной цифре таким образом, чтобы каждая цифра встречалась ровно в четырёх рядах. (Рядами мы считаем как столбцы, так и строчки таблицы.) Докажите, что у неё ничего не получится.


Решение

  Предположим, что Ане расставить цифры удалось. Заметим, что каждая цифра в таблице может встретиться не более четырёх раз. В самом деле, если среди четырёх рядов, где она встречается, есть два столбца и две строки, то на их пересечениях есть ровно четыре клетки для нашей цифры (написана она может быть в двух, трёх или во всех четырёх клетках), а если три ряда в одном направлении и один в другом, то только три клетки.
  Однако цифр всего 10, а клеток 40, поэтому цифр каждого вида ровно по 4, и расположены они именно на пересечениях двух горизонтальных и двух вертикальных рядов.
  Это, в частности, означает, что в каждом столбце одинаковые цифры присутствуют парами, что невозможно, так как в столбце нечётное число цифр (5).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Математический праздник
год
Год 2016
класс
Класс 6
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .