ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 65609
Темы:    [ Пятиугольники ]
[ Правильные многоугольники ]
[ Вспомогательные равные треугольники ]
Сложность: 3
Классы: 9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В выпуклом пятиугольнике равны все стороны, а также равны четыре из пяти диагоналей.
Следует ли из этого условия, что пятиугольник – правильный?


Решение

  Пусть пятиугольник АВСDE удовлетворяет условию задачи (равны между собой все диагонали, кроме АС, см. рис.). Тогда треугольники АЕD и BCD равны (по трём сторонам), значит,  ∠АЕD = ∠BCD.  Кроме того, треугольник CDE – равнобедренный, поэтому  ∠СЕD = ∠ECD.  Значит,
АЕC = ∠BCE.
  Следовательно, равны треугольники АСЕ и ВЕC (по двум сторонам и углу между ними), значит,  АС = ВЕ.  Таким образом, в пятиугольнике равны все диагонали и все стороны, поэтому равны и все углы, то есть пятиугольник – правильный.


Ответ

Следует.

Замечания

Условие равенства всех сторон – избыточное, достаточно равенства четырёх (в данном случае можно было исключить АВ).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая регата
год
Год 2015/16
класс
Класс 10
задача
Номер 10.1.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .